اشکال فراکتالی
ریاضـیات
شايد آيندگان اشکال فراکتالی از اينکه نشان داده ام قديمي ها همه چيز را نمي دانستند ، سپاسگزار من باشند(فرما)
فراکتال چیست؟
ما فراکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین . به این تصویرها که در انتها قابل مشاهده است، نگاه کنید و سعی کنید شباهت بین آنها را درک کنید.
حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال شکل هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از " کل " شکل است. حالا دوباره به تصویرها نگاه کنید!
به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به شکل یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فراکتال از ریشه ای یونانی به معنای " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده ، اشکال فراکتالی دارای 3 خاصیت عمومی هستند:
• تشابه به خود
• تشکیل از راه تکرار
• بعد کسری
تشابه به خود self similarity
گربه‌ها ، اشکال فراکتالی قناری‌ها و کانگوروها به هم شبیه هستند اگر به نحوی بتوانیم شباهتی بین آنها پیدا کنیم. اما در هندسه تشابه معنای خاصی دارد که حتماً آن را در کتاب ریاضی تان خوانده اید و می‌دانید که تشابه ، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل آنها را درست مثل هم کنید ، آن دو متشابه اند . اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟
اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند. به این شکل دقت کنید!
شکل کلی آن یک ذوزنقه است و خودش از ذوزنقه های کوچکتر کنار هم پدید آمده است. این یک مثال از تشابه به خود است.
حالا به این مثلث خاص نگاه کنید.
این مثلث بزرگ که نامش مثلث سیرپینسکی است از مثلثهای مشابه کوچکتر درست اشکال فراکتالی شده است که همین طور کوچکتر و کوچکتر هم می‌شوند.
ببینید چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟
چند سؤال:
اگر این شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟
آیا مربع‌ها خود متشابه اند ؟ یعنی می‌توان با مربعهای کوچکتر ، مربع بزرگی ساخت. شش ضلعی‌ها چطور؟
آیا همه دایره‌ها متشابه اند ؟ آیا خود متشابه هم هستند؟
تشکیل از راه تکرار Iterative formation
مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک شکل پیچیده تر بسازیم. بعد با آن شکل به دست آمده شکل پیچیده تری بسازیم ، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به اشکال فراکتالی اشکال فراکتالی وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آنها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سیرپنیکی که قبلاً دیدید یا :
• دانه برف کخ
• فرش سرپینسکی
• اژدهای هرتر - های وی
• مجموعه های جولیا و مندلبروت
ابعاد کسری fractional dimension
همانطور که می‌دانید ، یک نقطه بعد ندارد.
یک خط ، شکلی یک بعدی است
یک صفحه ، دو بعد دارد.
ودر آخر شکلهای حجیم ، سه بعد دارند.
اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً 6/1 یا 2/4 . چطور چنین چیزی امکان دارد؟
اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید ؟
حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.
اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور ؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم.
با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم.
به جدول زیر دقت کنید:
| شکل | بعد | تعداد اشکال متشابه حاصله |
| پاره خط | 1 | 2 1 =2 |
| مربع | 2 | 2 2 =4 |
| مکعب | 3 | 2 3 =8 |
چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد ، همان " توان " است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید 2 را به توان بعد آن شکل برسانیم.
سپس می‌توانیم یک خط دیگر به این جدول اضافه کنیم:
| هر شکل خود متشابه | d | n=2^d |
دوباره به مثلث آشنای خودمان نگاه کنید.
اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟ به خاطر داشته باشید که مثلثهای سفید جزو مثلث سیرپنیکی نیستند. با اشکال فراکتالی نصف کردن هر ضلع به سه مثلث می‌رسیم یعنی
:
3 عددی است بین 2 1 و2 2 . کسانی که لگاریتم بدانند ، به راحتی این مسأله را حل می‌کنند. خب می‌بینید که این عدد 5849. 1 یک عدد کاملاً کسری است !
